Der Finanz-Mathe Thread

Veröffentlicht von: @herr-vorragend

Das wäre z.b. mal eine Gleichung die mich Interessieren würde, wie man die Aufstellt und auflöst. Gleichsetzen ist klar. Zinseszinsformel mit 2x auf der einen? Und Mit 1,3y bei Sparbetrag auf der anderen und dann auflösen? 

Na gut, du hast es so gewollt. Hier die gewünschte Formel samt Herleitung:

Wir haben es also mit bestehendem Kapitalstock zu tun, der zusätzlich monatlich bespart wird und das ganze verzinst sich dann auch noch.

Wir nehmen an:
K₀ ist unser Kapitalstock.
R ist unsere monatliche Rate.
q ist 1/12 des jährlichen Zinsfaktors (1 + Zinssatz/100). 1/12 daher, weil wir ja monatlich besparen und somit auch unterjährig verzinsen.

Dann ergibt sich im ersten Monat folgendes Kapital:

            K1 = K0*q + R
        

Oder in Worten: Anfangskapital verzinst plus Sparrate.

Im zweiten Monat haben wir:

            K2 = K0*q*q + R*q + R

            Wir klammern R aus:
            K2 = K0*q2 + R(q+1)
        

Im dritten Monat haben wir:

            K3 = K0*q*q*q + R*q*q + R*q + R 
            K3 = K0*q3 + R(q2+q+1)
        

Im vierten Monat haben wir:

            K4 = K0*q*q*q*q + R*q*q*q + R*q*q + R*q + R 
            K4 = K0*q4 + R(q3+q2+q+1)
        

Ich denke das Muster wird ersichtlich. Also verallgemeinern wir bis zum n-ten Monat:

            Kn = K0*qn + R(qn-1+...+q3+q2+q+1)
        

Nun ist

            (qn-1+...+q3+q2+q+1)
        

eine Geometrische Reihe, die wie folgt umgeformt werden kann:

            (qn-1+...+q3+q2+q+1) = (qn-1)/(q-1)
        

Damit kommen wir auf die Formel:

            Kn = K0*qn + R(qn-1)/(q-1)
        

Mit dieser Formel können wir nun 2 Szenarien gegeneinander laufen lassen, indem wir z.B. sagen:
Heinz und Ernst haben beide einen Kapitalstock von 10.000 und sparen 20 Jahre jeden Monat zusätzlich einen gewissen Betrag. Heinz spart 500 € jeden Monat und sein Kapital verzinst sich mit 5% pro Jahr (5/12 % pro Monat). Ernst spart nur 400 € pro Monat. Wie hoch muss sich das Kapital von Ernst verzinsen, damit er nach 20 Jahren mit Heinz gleichgezogen ist?
Für Heinz haben wir somit:

            K0 = 10.000
            n = 20
            q = 0,05/12
            R = 500

            K20 | Heinz = 10.000 * (0,05/12)20 + 500*((0,05/12)20 - 1)/(0,05/12 - 1)
        

Und für Ernst:

            K0 = 10.000
            n = 20
            q = ?
            R = 400

            K20 | Ernst = 10.000 * q20 + 400*(q20 - 1)/(q - 1)
        

Jetzt setzen wir:

            K20 | Heinz = K20 | Ernst
        

und stellen auf q um. Dann wissen wir mit welchem Zinssatz Ernst verzinsen muss, um mit Heinz gleichzuziehen.

Das blöde ist nur, dass wir nicht einfach auf q umstellen können, da es sich um eine riesige Polynomfunktion handelt. D.h. Lösungen können nur mit Näherungsverfahren (z.B. Newton-Raphson-Verfahren )ermittelt werden. Deshalb berechnet man so etwas such nicht mit Bleistift und Papier, sondern mit einem Computer...